无限维李代数和量子包络代数的范畴化和几何构造

本学位论⽂主要研究⽆限维 Lie 代数和量⼦包络代数的范畴化和⼏何构造。本
⽂主要分为三个部分：（1）对⼆周期投射复形范畴及稳定范畴（三⾓范畴）构造
Lie 代数；（2）Green 公式的范畴化；（3）Bridgeland 的 Hall 代数的范畴化构造和
Lusztig 的偏屈层与对偶典范基理论在⼆周期投射复形范畴的推⼴。
对复数域 ℂ 上整体维数有限的有限维代数的有限维模范畴，⼀⽅⾯，在其⼆
周期投射复形范畴 𝒞2(𝒫) 上，利⽤ Bridgeland 在有限域上构造 Hall 代数的局部化
代数的⽅法以及 Joyce 定义 motivic Hall 代数的⽅法，我们构造了 motivic 形式的
Bridgeland 的 Hall 代数，并证明了这个代数的经典极限包含⼀个对 Lie 括号封闭的
ℂ-⼦空间 𝔤，故它是⼀个 Lie 代数。另⼀⽅⾯，在稳定范畴 𝒦2(𝒫) 上，利⽤ Peng-
Xiao 有限域上对⼆周期三⾓范畴构造 Lie 代数的⽅法以及 Xiao-Xu-Zhang 在复数
域上的推⼴，得到 Lie 代数 ̃𝔤。我们证明了⾃然函⼦ 𝒞2(𝒫) → 𝒦2(𝒫) 诱导了 Lie 代
数同构 𝔤 ≃ ̃𝔤。
基于以下结果：有限域上箭图表⽰范畴的 Ringel-Hall 代数，Green 公式，以及
量⼦群的 Lusztig 范畴化理论，我们证明了⼀个关于 Lusztig 定义的诱导函⼦和限
制函⼦的公式，将 Lusztig 的⼀个公式推⼴到更⼀般的情形，建⽴了 Green 公式的
范畴化。
⽬标于 Bridgeland 的 Hall 代数的范畴化构造，我们将箭图表⽰范畴上的
Lusztig 理论推⼴到⼆周期投射复形范畴，定义了⼆周期复形范畴的代数簇、投
射旗簇、诱导函⼦及限制函⼦。我们研究了诱导函⼦和限制函⼦的性质。特别地，
对箭图表⽰范畴的⼆周期投射复形范畴，我们证明了⼀个关于限制函⼦的公式，并
构造了⼀个结合代数，且这个代数有⼀组具有正性的基。